ランダムウォークについてだらだらと

ランダムウォークとは

理想的なコインがあるとする。コイントスすれば表と裏が出る確率が完全に同一で、しかも立ったりしないコイン。その表裏にそれぞれ「＋１」「−１」と書き込む。（書き込んだことで重量バランスが崩れたりはしない。念のため）
そして普通の平面グラフを用意する。Ｘ軸にはコイントスをした回数、Ｙ軸にはそれまでのコイントスで出た結果の合計を当てる。
コイントスを何十回となくやってみると、原点から始まり、一度として真横に動くことのないジグザグなグラフが出来上がる。このジグザグなグラフを、ランダムウォークと称する。

ランダムウォークの性質

「+1」か「-1」しか出ないので、グラフは真横に進むことはない。そしてＹ軸は奇数と偶数（含む０）が交互に出現する。
試行回数nの時点での、yの理論上の最大値と最小値は、それぞれnと-nになる。

イメージで考える

大半の人は、このランダムウォークのグラフは、Ｘ軸周辺をうろうろするように直感的に考えるかも知れない。本当にそうだろうか。

試行回数	0になる組み合わせ	全組み合わせ	0になる確率
0	1	1	%100
2	2	4	%50
4	6	16	%37.5
6	20	64	%31.25
8	70	256	%27.34375
10	252	1024	%24.609375
12	924	4096	%22.55859375
14	3432	16384	%20.947265625
16	12870	65536	%19.6380615234375
18	48620	262144	%18.5470581054688
20	184756	1048576	%17.6197052001953
22	705432	4194304	%16.8188095092773
24	2704156	16777216	%16.1180257797241
26	10400600	67108864	%15.4981017112732
28	40116600	268435456	%14.9445980787277
30	155117520	1073741824	%14.4464448094368
32	601080390	4294967296	%13.9949934091419
34	2333606220	17179869184	%13.5833759559318
36	9075135300	68719476736	%13.206059957156
38	35345263800	274877906944	%12.8585320635466
40	137846528820	1099511627776	%12.5370687619579
42	538257874440	4398046511104	%12.2385671247685
44	2104098963720	17592186044416	%11.9604178719328
46	8233430727600	70368744177664	%11.7004087877604
48	32247603683100	281474976710656	%11.4566502713487

（続きはランダムウォーク資料編 - 永字八法に）
Ｙが０になる確率は、試行回数が8回以上で30％未満、16回以上で20％未満、28回以上で15％未満、64回以上で10％未満、256回以上で5％未満、708回以上で3％未満となる。
試行回数が少ない頃ならまだしも、長くなればなるほど0にタッチする確率は印象であっても多いとは言えないことがわかる。
（続く）